RESUME KALKULUS DIFERENSIAL DAN INTEGRAL DALAM PENGGUNAAN FARMASI
DOSEN PENGAMPU :
Deny Sutrisno, M.Pd.
DISUSUN OLEH :
1. FANNY ANISAH (2248201065)
2. NANDA SAFHIRA (2248201098)
3. UMI ATIQAH (2248201105)
4. REGYNA YULIA PUTRI (2248201096)
5. RENI SULISTIYANINGSIH(2248201110)
Pengertian Kalkulus
Kalkulus merupakan salah satu topik bahasan dalam matematika. Topik pembahasan kalkulus meliputi konsep limit, diferensial atau turunan, serta integral atau anti-turunan.
Pembahasan mengenai konsep-konsep materi dalam kalkulus akan dijelaskan pada bagian yang lain.
Kalkulus dalam Kehidupan Sehari-hari
Kalkulus memiliki beragam penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Matematika sebagai salah satu induk ilmu pengetahuan sangat dibutuhkan dalam bidang lain.
Beberapa penerapan kalkulus dalam bidang lain antara lain:
Pada bidang fisik, khusunya terkait mekanika, kalkulus sangat diperlukan untuk menyelesaikan perhitungan-perhitungan dengan menerapkan konsep kalkulus.
Dalam bidang statistika dan teori peluang juga terdapat perhitungan dengan menerapkan konsep kalkulus (integral).
Dalam bidang ekonomi, kalkulus dapat digunakan untuk menentukan biaya marginal (kalkulus diferensial).
Kalkulus Dasar
Penjelasan mengenai kalkulus dasar pada bagian ini yaitu konsep mengenai limit, turunan (diferensial), dan anti-turunan (integral).
Limit
Misalkan terdapat suatu fungsi f(x). Limit dapat didefinisikan sebagai suatu nilai fungsi untuk nilai x mendekati suatu bilangan tertentu. Batas dapat dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
x : variabel
a : suatu bilangan
f(x) : fungsi dengan variabel x
f(a) : nilai limit fungsi x mendekati a.
Turunan (Diferensial)
Turunan merupakan lanjutan dari konsep limit. Misalkan terdapat suatu fungsi f(x).
Turunan dapat didefinisikan sebagai suatu perhitungan terhadap perubahan nilai f(x) seiring dengan perubahan dari nilai x.
Turunan dari suatu fungsi f(x) disimbolkan dengan f’(x). Misalkan terdapat f(x) = axn, maka turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anxn-1
Keterangan:
f(x) : fungsi dengan variable x
f’(x) : turunan fungsi f(x)
Anti-turunan (Integral)
Pernahkah kalian mendengar mengenai integral? Integral merupakan kebalikan dari turunan.
Misalkan terdapat suatu fungsi f(x). Integral dari fungsi f(x), disimbolkan dengan F(x) yaitu sebagai berikut.
F(x) = ∫ f(x)
Keterangan:
F(x) : integral dari f(x)
f(x) : fungsi dengan variable x.
Misalkan terdapat fungsi f(x) = axn. Integral dari fungsi tersebut adalah
F(x) = ∫ axn = a/(n + 1) xn+1 + C
Keterangan:
F(x) : integral dari suatu fungsiax
n : fungsi dengan koefisien a, variabel x, dan pangkat n.
C : konstanta
Contoh Soal Kalkulus
1.Tentukan nilai dari limit berikut.
penyelesaian :
2. Tentukan turunan dari fungsi berikut. a.f(x) = 2x
b. g(x) = -4x3
c. h(x) = x3 + 4x2 + 2x
penyelesaian :
a. f’(x) = 2 (1) x1 – 1 = 2x0 = 2
b. g’(x) = -4 (3) x3 – 1 = -12x2
c. h’(x) = 3x3 – 1 + 4 (2) x2 – 1 + 2 (1) x1 – 1
h’(x) = 3x2 + 8x + 2
3. Tentukan integral dari fungsi f(x) = 6x2 + 2x.
penyelesaian :
F(x) = ∫6x2 + 2x = 6/(2 + 1) x2 + 1 + 2/(1 + 1) x1 + 1 + C
F(x) = 6/3 x3 + 2/2 x2 + C
F(x) = 2x3 + x2 + C
Apa Itu Integral?
Bentuk penjumlahan kontinu yang terdiri dari anti turunan disebut dengan "integral". Merujuk pada buku bertajuk Kamus Matematika: Istilah, Rumus, dan Perhitungan, kata integral sebagai kata benda diartikan sebagai sebuah fungsi. Sedangkan jika dari kata sifat, artinya "dalam bentuk bilangan bulat". Contoh, sebuah polinominal memiliki koefisien integral, berarti koefisien polinominal semuanya bilangan bulat.
Kata polinominal adalah istilah untuk penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Dalam sejarah, seorang ilmuan Yunani bernama Archimedes menjadi yang pertama mengemukakan ide atau gagasan tentang integra. Dia berasal dari Syracuse sekitar tahun 287-212 sebelum Masehi.
Archimedes menggunakan integral untuk memecahkan masalah dalam mencari luas sebuah daerah lingkaran. Dengan batasan parabola dari tali busur dan lainnya.
Pada berabad-abad selanjutnya, ada ilmuan bernama Georg Friedrich Bernhard Riemann yang punya andil besar mengembangkan ilmu integral.
Di zaman sekarang, umumnya integral disebut kalkulus integral. Di mana, integral juga bisa didefinisikan menjadi dua macam. Pertama, dilihat dari sudut pandang ilmu aljabar, integral yaitu operasi invers dari operasi turunan. Kemudian dalam geometri, integral adalah metode untuk mencari luas daerah limit dari jumlah.
Dalam buku Kalkulus Diferensial dan Integral (Teori dan Aplikasi), integral dapat disebut sebagai fungsi. Fungsi (F) merupakan "anti turunan" atau "anti diferensial". Integral dari fungsi (f) pada selang (I), jika F (x) = f (x) berlaku untuk setiap "x" dan "I".
Penjelasan di atas bisa disederhanakan. Dalam aljabar terdapat istilah operasi invers atau kebalikan. Contoh, kebalikan dari penjumlahan yaitu pengurangan, serta kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Dari uraian ini, integral bisa disebut sebagai kebalikan dari turunan.
Bunyi sederhananya:
Suatu fungsi disimbolkan: "F", bisa disebut anti turunan dari suatu fungsi "f" pada selang "I". Jika setiap nilai "x" di dalam "I", maka berlaku seperti ini F (x) = f (x).
Agar lebih mudah memahaminya, Anda bisa memperhatikan contoh di bawah ini.
Pertanyaan:
Sebuah fungsi diketahui sebagai berikut f (x) = 4x3. Tentukan anti turunan dari fungsi tersebut.
Jawaban:
1. Jika fungsi F(x) = x4 diturunkan, jadinya F(x) = f(x) = 4x3.
2. Jika fungsi F(x) = x4+2 diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.
3. Jika fungsi F(x) = x4-3 diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.
4. Jika fungsi F(x) = x4+C (konstanta) diturunkan, maka F(x) = f(x) = 4x3.
Uraian di atas menunjukkan banyak fungsi yang turunannya 4x3. Sehingga bisa disebutkan kalau anti turunan fungsi f(x) = 4x3 secara umum yaitu F(x) = x4+C dengan konstanta sembarang.
Dari contoh di atas, suatu operasi mencari F(x) jika f(x) merupakan kebalikan dari operasi perdiferensialan, maka bisa disebut dengan istilah operasi integral. Kesimpulannya berbunyi:
Bila terdapat fungsi F(x) yang dapat diturunkan pada interval I, maka dF(x)/dx = F(x) = f(x), maka anti turunannya dari f(x) yaitu F(x) = x+C dengan konstanta sembarang.
Konsep Dasar Integral
Jika masih belum paham terkait penjelasan di atas, Anda bisa memperhatikan ulasan berikut.
Merujuk dari modul berjudul Pendidikan Matematik FKIP Unswagati, diterangkan bahwa sebelum masuk ke materi integral, Anda sebaiknya mempelajari dulu konsep turunan. Sebab konsep turunan bisa digunakan untuk memahami konsep dasar integral.
Untuk memudahkan Anda memahami konsep dasar integral, sila perhatikan contoh berikut:
Suatu fungsi memiliki bentuk umum fx= 2x3. Setiap fungsi memiliki turunan f(x) = 6x2. Jadi, turunan fungsi fx = 2x3 yaitu f(x) = 6x2.
Berdasarkan uraian contoh di atas, maka untuk menentukan fungsi f(x) dari fx , berarti menentukan anti turunan dari f(x) .
Melihat dari definisinya yaitu integral adalah operasi invers atau anti turunan (disebut juga anti diferensial), dari diferensial. Bila f(x) merupakan fungsi umum dengan sifat f'x = fx maka f(x) merupakan anti turunan atau integral dari F’x = f(x).
Dalam ilmu matematika, integral bisa dinotasikan sebagai berikut:
∫ f(x) = F(x) + C.
Kemudian, karena biasanya anti turunan dari f(x) dinotasikan dengan ∫f(x) dx atau "integral f(x) terhadap x". Bentuk ∫f(x) dx disebut integral tak tentu dan f(x) di sebut integran. Dari penjelasan ini maka ∫axndx = an + 1x n+1 + C. Dengan bilangan rasional dan n ≠ 1.
Jenis-jenis integral
Dalam materi pelajaran matematika, integral umumnya bisa dibedakan menjadi dua jenis. Yaitu "integral tak tentu", kwmudian yang kedua adalah "integral tentu".
1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu bisa diartikan sebagai integral yang tidak mempunyai batas. Maksudnya, integral tak tentu adalah sebuah proses untuk menentukan bentuk umum dari turunan dari suatu fungsi yang diberikan.
Rumus Integral Tak Tentu
Jika F(x) turunan dari f(x), maka ∫f(x)dx = F(x) + c maka disebut integral tak tentu, dengan c suatu konstanta sembarang. Rumusnya bisa ditulis: ∫f(x)dx = F(x).
Di mana, simbol dalam rumus di atas bisa diartikan sebagai:
∫ = lambang integral (operasi invers atau operasi anti turunan).
f(x) = turunan dari f(x) + C.
C = suatu konstanta real.
Contoh Soal Integral Tak Tentu
Contoh soal 1.
Pertanyaan: Gunakan rumus integral tak tentu untuk menghitung ∫2 dx.
Jawaban: Jika ditugaskan untuk menghitung
∫2 dx, maka bisa dijabarkan seperti ini
"turunan dari 2x + C adalah 2, maka hasilnya ∫ 2 dx = 2x + C".
Contoh soal 2.
Pertanyaan: tentukan nilai dari ∫ x dx.
Jawaban:
Diketahui bahwa turunan dari 1/2 x2 + C adalah x. Maka hasilnya ∫ x dx = 1/2 x2 + C.
2. Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu, jenis integral tentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas ini umumnya suatu nilai konstanta atau bisa juga variabel. Untuk mencari nilai dari jenis integral ini, maka perlu mensubstitusi batas atas ke fungsi hasil integral. Selanjutnya, dikurangi hasil substitusi batas bawah di fungsi hasil integral.
Rumus Integral Tentu
Rumus integral tentu bisa ditulis "a∫b f(x)dx = f (b) - f (a).
Rumus di atas bisa dijelaskan arti dari simbolnya. Berikut uraiannya:
f(x) = fungsi yang nantinya akan Anda integralkan.
F(a) = nilai integral pada batas bawah.
F(b) = nilai integral pada batas atas.
d(x) = variabel integral.
a = batas bawah pada variabel integral.
Contoh Soal Integral Tentu
Diketahui ∫41 4x dx.
Jawaban
∫41 4x dx = 2x2]41 = 2(4)2 - 2(1)2 = 32 - 1 = 30.
Hasilnya adalah 30.
Penerapan Diferensial dan integral Pada Bidang Farmasi
Menurut Prof. Dr. Fauzi Sjuib seorang Guru Besar Departemen Farmasi ITB, nasib obat sesudah diminum adalah didistribusikan ke seluruh tubuh oleh cairan tubuh (darah), tetapi kita tidak dapat mengetahui dengan pasti kemana dan berapa jumlahnya pada jaringan penerima distribusi. Untuk mengirakan hal tersebut, maka secara farmakokinetika dibuatlah model-model yang melihat tubuh sebagai kompartemen. Sebagai bapak dari model kompartemen adalah Teorell yang mengatakan tujuan farmakokinetika adalah menurunkan persamaan matematika yang memungkinkan kita menerangkan kinetika dan distribusi obat dalam tubuh. Dikemukakan model satu kompartemen dan model multi kompartemen (yang terbanyak dua kompartemen dari model multi kompartemen), yang dapat digambarkan sebagai berikut : A. 1. Xo ka 2 X XA K XE Model satu kompartemen A.1. Pemberian suntikan IV dengan dosis Xo 19
Selain itu penggunaanya :
•Penggunaan pada bidang Biofarmasetik dan Farmakokinetika Absorbsi Obat
Oral ( Differensial )
• Penggunaan dalam proses disolusi ( Integral )
Contoh Perhitungan Diferensial dan integral Dalam Bidang Farmasi
Contoh diferensial
Komentar
Posting Komentar